混凝土泵車支腿展開角度的優化設計
2006-05-17 00:00
混凝土泵車在布料時，由于臂架的伸展與回轉，臂架自重對泵車產生的傾覆力矩不斷變化。合理確定支腿的展開位置，保證泵車在任一工況下整機的穩定性，對于安全施工具有重要意義。本文從整機重心的軌跡方程入手，以支腿的展開角度為設計參數，確立優化目標函數，確定出評價泵車穩定性的指標。通過對現有泵車參數的實際驗算，表明在其它結構未變而僅對展開角度進行調整，泵車的整機穩定性可得到大幅度提高。
1 泵車整機穩定性的探討
1.1 整機重心軌跡的確定
臂架在展開形式一定的情況下，繞回轉中心轉動時，整機重心位置的變化規律如圖1。
設點A、B、C、O 分別為整機重心、臂架重心、機體重心（除臂架以外的部分）、臂架回轉中心在水平面的投影位置。以臂架回轉中心O 為坐標原點，O 點與C 點之間的連線為縱軸，建立坐標系。設OB=R，OC=B，臂架在某一位置時與X 軸的夾角為 
，則B點的坐標值為B（ Rcos 
， Rsin 
）， C點的坐標值為C（O， -b）。根據解析幾何和重心理論，其整機重心A 必在B、C 兩點之間的連線上，且A（ (xA，yA）點的坐標為：
，則B點的坐標值為B（ Rcos ， Rsin ）， C點的坐標值為C（O， -b）。根據解析幾何和重心理論，其整機重心A 必在B、C 兩點之間的連線上，且A（ (xA，yA）點的坐標為：
顯然，式（1）是以 
角為參數的參數方程，消除 
角，經變換得：
角為參數的參數方程，消除 角，經變換得：
可見，泵車整機重心變化的軌跡為一個圓，圓心O1（見圖1）的坐標為（0， 
) ，半徑為
。
) ，半徑為 。1.2 泵車整機穩定性的衡量指標
設泵車前、后支腿的轉軸位置和支腿長度一定，若前、后支腿的展開角度分別為 
、
、
、
（見圖2），顯然 （ n=1，2，3，4）各角度值的變化范圍應為0 ，900，不同的 
值構成了以支腿為4個頂點的不同的四邊形支承面。衡量各支腿在某一展開角度時，所構造的支承面對整機穩定性的好壞，先要求出臂架在3600回轉時，整機重心距該支承面邊緣的最短距離。
、 、 、 （見圖2），顯然 （ n=1，2，3，4）各角度值的變化范圍應為0 ，900，不同的 值構成了以支腿為4個頂點的不同的四邊形支承面。衡量各支腿在某一展開角度時，所構造的支承面對整機穩定性的好壞，先要求出臂架在3600回轉時，整機重心距該支承面邊緣的最短距離。 先以軌跡圓的圓心點O1為起始點，以點G為垂足，作四邊形中的任意一條邊如M-N線段的垂線，交軌跡圓于點Q，交線段M-N于點G。設線段QG 的長度值為L1，則L1 為軌跡圓上的點（即臂架回轉時整機重心的位置）到線段M-N的最短距離，用同樣的方法找出四邊形支承面另外3 條邊與軌跡圓所對應的最短線段長度L2、L3、L4。比較L1、L2、L3、L4 值的大小，找出4個長度中最短的一個，設該最短距離為S min，即： S min=min｛L1，L2，L3，L4｝，則S min的長度值便可用來衡量此時整機穩定性的指標。顯然， S min越大，穩定性越好，反之則穩定性越差。由穩定性理論，各線段長度L1、L2、L3、L4 必須大于零是比較的前提，否則將導致泵車傾翻。
1.3 最佳展開角度所在值域區間的判斷
假設支腿的展開角度 
（ n=1，2，3，4）的數值往兩極方向變化，顯然，當 
值過小（→00）或過大（→900）時， S min值均會減小甚至是負值，由于S min為
的連續函數，因此必有一個 
［00< 
<900 (n=1，2，3，4)］，可使S min→max，也就是說，支腿按該角度布置展開，泵車的整機穩定性最好。
（ n=1，2，3，4）的數值往兩極方向變化，顯然，當 值過小（→00）或過大（→900）時， S min值均會減小甚至是負值，由于S min為 的連續函數，因此必有一個 ［00< <900 (n=1，2，3，4)］，可使S min→max，也就是說，支腿按該角度布置展開，泵車的整機穩定性最好。2 穩定性優化數學模型的建立
2.1 求解整機穩定性的最佳支腿展開角度的步驟
整機穩定性優化數學模型建立的過程也就是按照本文1.1、1.2 和1.3 所說的方法，求得S min、 
。需注意2 點：
。需注意2 點： （1）1.1中所用的方法是在臂架展開形式一定的情況下推導出來的。顯然，臂架全部展開且在水平位置回轉時，整機重心偏移機體支承面的程度最大，即整機的穩定性最差。因此研究泵車的穩定性問題，就可歸結為研究泵車臂架全部展開且在水平位置回轉時的穩定性問題，故將臂架全部展開且水平回轉時，臂架重心距離回轉中心的長度作為（1）式中的回轉半徑R的數值。
(2）支腿在進行角度調整時，因支腿本身具有重量，因此要考慮支腿重心變動時對機體重心位置的影響。為此，可將泵車分為3 個部分：臂架部分、支腿部分以及車體部分。對于一定的 
（n=1，2，3，4），則4個支腿的重心就可完全確定，求出該重心與車體重心的共同重心，并作為式（2）中的機體重心W2，便可利用式（2）求出重心軌跡圓方程。
（n=1，2，3，4），則4個支腿的重心就可完全確定，求出該重心與車體重心的共同重心，并作為式（2）中的機體重心W2，便可利用式（2）求出重心軌跡圓方程。2.2 穩定性指標的數學表達式
參見圖2，設點P、S 與點M、N 分別為相鄰兩支腿的轉軸中心與支承點，RM、RN 分別等于線段PM 和線段SN，則點M的坐標為：
設軌跡圓圓心O1 的坐標為（0，y01），點O1到直線MN 的距離為L1，則：
用同樣的方法分別求出L2、L3、L4，則該支承狀態下，泵車的穩定性指標S min可表示為：
2.3 優化數學模型
綜上所述，以4 個支腿展開角度
、
、
、
為優化設計參數，以穩定性指標（整機重心距離支承面的最小距離）達到最大為目標函數，建立如下表達式：
、 、 、 為優化設計參數，以穩定性指標（整機重心距離支承面的最小距離）達到最大為目標函數，建立如下表達式：
3 計算實例
3.1 優化前后的穩定性對比
就實際使用的泵車而言，大部分泵車的機體結構（除臂架以外的部分）相對于泵車的縱軸線是對稱布置的，即機體重心與臂架回轉中心均在對稱軸上，支腿的展開角度相對于縱軸線也是對稱布置的，因此上面所述的4個設計變量可歸結為2 個變量，即： = ； = 。
= ； = 。 以某單位實際生產的37m泵車為對象，求該泵車穩定性的優化解可使用試湊法（取步長0.10或0.050，其精度足以滿足工作需要）或約束變尺度法，輸入泵車的其它相關參數（如臂架重心的回轉半徑和重量值、車體重心的位置和重量值等），得到 、 的優化設計結果。該泵車原支腿的展開角度和穩定性指標S min與采用優化設計后的支腿展開角度和穩定性指標S min的比較見表1。優化后的S min數值比優化前的增加254mm，增加了53.6%.
、 的優化設計結果。該泵車原支腿的展開角度和穩定性指標S min與采用優化設計后的支腿展開角度和穩定性指標S min的比較見表1。優化后的S min數值比優化前的增加254mm，增加了53.6%.
3.2 優化效果
（1）原泵車支腿張開后確定的四邊形為矩形，而該最優解為等腰梯形。
（2）避免了常規設計時難以精確考慮支腿本身自重的問題。支腿自重約占整車重量12%左右，因此對穩定性有較大影響。
（3）通過對支腿展開角度的優化，顯著提高了泵車整機的穩定性，進而減少因操作等原因造成的泵車傾翻事故。
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